Aşk Algoritmalar Yüzünden mi Var?

Algoritma: Bir işin nasıl yapılacağını gösteren yolun, adım adım tarifidir. Daha çok bilgisayar programları ile ilgilenenlerin çok uğraştıkları ve yakından bildikleri bir kavramdır.

Şema Wikipedia'nın ilgili
sayfasından alınmıştır.

Algoritma adını, Ebû Ca'fer Muhammed bin Mûsâ el-Hârizmî isimli 9. yüzyılda yaşamış olan bir matematikçiden almaktadır. "Algoritmi de numero Indorum" adıyla Latince'ye tercüme edilen kitabı sayesinde kendisinin algoritmayı saptayan ilk kişi olduğu düşünülmektedir.

Algoritma kelimesinin de "el-Hârizmî" (ya da al-Hârizmî) kelimesinin batılılar tarafından "algorizm" şeklinde söylenebilmesinden ortaya çıkmıştır.

Duygularımız da karmaşık algoritmalar olabilir mi? 

Belki. Karar mekanizmalarının anlaşılması için yapılan deneylerde, deneklerin kafalarının üzerine yerleştirilen algılayıcılar ile beyin dalgaları incelenmiştir. Buna göre, bir konu üzerinde birey tarafından alınan bir karar bilinçli olarak ifade edilmeden hemen önce, beynin ilgili bölümünde bir farklı dalga gözleniyor. Verilen kararın, örneğin: Sağdaki ya da soldaki butona basma seçenekleri olduğunda, hangi düğmeye basılacağının tercih edildiği, henüz deneğin bilinci tarafından açıklanmadan önce belirlenebiliyor. Ardından deneğin, tespit edilen beyin dalgası değişikliği yorumlanarak hangi düğmeye basılacağı önceden anlaşılıyor. Denek de tahmin edilmiş olan düğmeyi seçip, basıyor. Bunun özgür irade tarafından gerçekleştirilen bir tercih olduğu fikrine şüphe işte tam olarak da bundan kaynaklanıyor. Yuval Noah Harari, Homo Deus adlı kitabında bu durumu özgür irade ile bağlayarak, aslında özgür irade ile değil, beyindeki algoritma ile kararın daha siz fark etmeden kısa bir süre önce verildiğini belirtiyor.

Doğrusunu isterseniz, insanlık tarihinin başlangıcından bu yana kendimizi, çevremizi, dünyayı ve evreni anlamak için yoğun bir şekilde çaba gösteriyoruz. Bu konuda, çok yol almış olsak da, hala içimizde bir yerlerde duran "ilkel canlı" insanlık tarihinin başından bu yana çok fazla değişmedi. Zamanla deneyimlerimiz ve bilgi birikimimizden oluşan dev bir bilgi okyanusu oluşturduk. Ancak tüm bu birikime rağmen, hala gerçek ile gerçek olmayanı ayırt etmekte zorlanıyoruz.

Biri çıkıp, garip ve esrarengiz bir örgülü anlatım içerisinde bir konuyu eğip büktükten sonra, "eğer bu mesajı 10 arkadaşınıza gönderirseniz çok zengin olacağınızı ama göndermezseniz başınıza kötü şeyler geleceğini" söylediğinde içinizde ilkel kalmış bir yerlerden bir ses çıkıp: Söyleneni yapmanızı isteyebiliyor. Örneğin her ne kadar ücretsiz hizmet verdiğini bilsek ve tonla alternatifi olduğunu duymuş olsak da, bir de üzerine 10 yıl önce WhatsApp diye bir uygulama bulunmadığını bilsek de, tam tersini iddia eden mesaj, bir arkadaşımızdan geldiğinde içimizde nedensiz bir endişe duyuyoruz. Büyük ihtimalle atalarımız birlikte yaşamaya başladıklarında ve kabiledeki diğer bireylere güvendiklerinde, hayatta kalmak daha kolay olmuştu. Bu yüzden kabilesindeki diğer fertlere güvenen ve kendisine güvenilen bireyler daha kolay hayatta kaldılar. Bu özelliklerin gelecek nesillere aktarılması davranışımızın açıklaması olabilir. Bir arkadaşımızın bize söylediği ya da gönderdiği, aslında içeriğinde hiç bir doğruluğu olmayan bir mesaja inanırız. Nedeni, hayatta kalma şansımızı artıran bir alt yordamın derinlerde çalışması olabilir. İşte böylece içeriği ne kadar olağanüstü görünse de, bir arkadaşınızdan gelen zincir mektubu dikkate alıyor ve belki de o mektubu size güvenen başka arkadaşlarınıza gönderiyorsunuz. Korkmayın, yalnız değilsiniz. Ancak kim bilir, belki de özgür iradeye sahip olduğunuzu düşünüyor olmakla birlikte, gerçekte durum hiç de öyle değil.

Özgür İrade

Özgür irade, aynı toplumdaki insanlara yaygınlaştırdığımızda ortaya çıkan milli irade kavramı gibi aslında böyle bir şey olmadığını düşündürecek gediklerle doludur. Diyelim ki, abur cubur yemiyor, içmiyor ve formunuzu korumaya çalışıyorsunuz. Bir akşam, karşısına geçtiğiniz televizyonda içine ürün yerleştirilmiş en sevdiğiniz dizi oynuyor. Birden içinizde bir susuzluk hissediyorsunuz ve birazdan aklınıza dolaptan kola alıp içmek geliyor. Dizide oyuncunun elindeki "yerleştirilmiş ürünü" doğru dürüst fark etmemiş olabilirsiniz. Beyninizde işleyen bir düzenek sizi çoktan baştan çıkardı bile. E, ama hani özgür irade vardı?

Siyasi görüşünüze göre kullandığınız oy, gerçekte tam olarak yukarıda anlatmaya çalıştığım gibi etkilenemez mi? Siyasetçiler sizce beyninizde geri planda çalışan bazı bu mekanizmaları kullanacak bir yöntem biliyorlar olabilir mi? Biliyorlarsa bunu kullanmazlar mı? E, ama hani milli irade vardı?

Ya duygular?

Sevgi adını verdiğimiz duygu olmasaydı yavrularımızı yetiştirme konusunda pek başarılı olamayabilirdik. Tabi ile de bu mekanizma işleyecek diye bir sorunluluk yok. Eğer bir sürüngenseniz, örneğin kaplumbağa, yeterli sayıda yumurtlayıp, hayatta kalan yavru sayısını artırmak da bir başka çözüm olabilir. 100'lerce yumurtadan çıkan bir kaç şanslı yavru hayatta kalabilir. Nesil devam eder.

Ancak memelilerde buna imkan yoktur. Bebek bir süre canlının içerisinde büyüdüğü için öyle yüzlerce yapma şansınız bulunmaz. Bir köpek 7-8, bir insan da 1, bilemedin iki yavru büyütebilir içinde (normal şartlarda). Doğumdan sonra, kendine yetmeyi öğrenene kadar ebeveynleri tarafından bakılan yavrular hayatta kalabiliyorsa bu davranış şekline sahip fertler gelecek nesilleri oluşturacakları için bu durum hayatta kalmak savaşında bir başka çözüm olarak ortaya çıkmış demektir. Sevgi dediğimiz de, öncül memeli atalarımızın hayatta kalmalarına neden olan bir algoritma olabilir mi, ne dersiniz?

Biyolog Richard Dawkins aşkın ebeveynlerin çocukları kendine yetecek hale gelene kadar bir arada kalmalarına neden olan rastlantıdan doğan, kuvvetli bir duygu olabileceğini ve işe yaradığı için de sonraki nesillere aktarıldığını ileri sürmüştür.

Austin Powers filmlerinin ünlü kötü karakteri ve
kendini kopyalayarak yaptığı oğlu Mini-Me

Belki de, beynimizde biz fark etmeden çalışan pek çok alt yordam (sub routine) benliğimizi oluşturuyor olabilir. Yine ömür boyu kazandığımız bilgi ve deneyimler ile bunlara başka algoritmalar ekliyor olabiliriz. Tüm bu bileşenlere kişilik adını verip, özgür olduğunu sandığımız irademizle aslında atalarımızın tekrar tekrar kullandıkları bazı davranış kalıplarını sürdürüyoruz. "Özgür irade diye bir şey yoktur" denildiğinde, aksi fikirlerimizi ortaya döküp, şiddetli tepki verebilirken, "ayy, aynı babası" denildiğinde, bizim minik kopyamızı andıran ve bizim yaptığımız hataları tekrar ederek büyüyecek olan yavrumuzla ise gurur duyuyoruz.

Yapay Zeka?

Hızla ilerleyen bilgisayar teknolojisi sayesinde insanlık yapay zekayı geliştirmeye çalışıyor. Arnold Schwarzenegger'in oynadığı ölümcül robotların ve yapay zekanın insanları yok etmeye çalıştıkları Terminatör serisi veya insanların enerji üreteçleri olarak kullanıldığı Matrix serisindeki durum öngörülse ve gerçekleşme ihtimali de yüksek olsa da, yapay zekayı geliştireceğiz gibi görünüyor. Üstelik yapay zeka sayesinde var olandan çok daha az sayıda insan ile ekonomik hayat sürdürülebilir ve az sayıda insan dünyadaki cenneti yaşamaya devam edebilir. Üreme yeteneğine yapılacak küçük bir değişiklik bir kaç 10 yıl içerisinde 7 milyara ulaşmış insan nüfusunu 1 milyarın altına düşürebilir. Üstelik bunu yapmak için insanlar özgür iradelerinin (!) sözünü dinleyebilirler.

Yapay zeka özgür iradeye (!) sahip olabilecek mi bunu bizden sonraki nesil görecek gibi. Umarım bu defa durum, insanlığın iyiliği için kullanılır. Tabi, bildiğimiz anlamda bir insanlık kalırsa...

Altın Oran

Altın oran. Doğadan varlığını keşfettiğimiz ve matematik bir modele uydurduğumuz olgu. Ancak gerçekten güzelliğin sırrı mı, yoksa göz alışkanlığından gelen bir kabul mü tartışılır.

Altın oran, bir dönem sanata mimarlığa ve diğer pek çok alana etki etmiş biraz da doğadan esinlenerek oluşturulmuş bir kabul ediş ya da matematiksel bir çıkarımdır. Uzun süre bir gerçeklik olarak kabul edilse de günümüzde sorgulanan, belki de modası geçmiş bir kavramdır. Peki nedir Altın Oran?

İnsanoğlu oldukça kibirlidir. Kendisini evrenin merkezinde gibi görür. Oysa biraz açık görüşlü bakış açısından yaklaşıldığında insan, mükemmel olmaktan çok uzak, ancak bir o kadar da şaşırtıcıdır. Örneğin yaşam döngüsü evrene göre çok kısadır. Belki de sırf bu yüzden kendi yaşamı boyunca tüm insanlığı yok edecek felaketlerin yaklaşmakta olduğu gibi uydurma kehanetlere bayılır. Bazen  bu konuda o kadar üretken olabilir ki gerçeği yanılgıdan ayırabilmek oldukça güç hale gelir. Bilim her konuda olduğu gibi burada da bize yolu gösterebilecek iyi bir araçtır. Aydınlanmak varken karanlık dehlizlerde kaybolmak akılcı olmaz. O nedenle her türlü bilgimizi değişmez değil, yanlışlanabilir olarak kabul etmeli ve ona göre yaşamalıyız.

Matematik bir bilim dalı değildir. Bilim dallarının sistematiğinde ve hesaplamalarında vazgeçilmezidir. Bilim dalları ve disiplinler gibi matematik de, kötü niyetli ellerde tehlikeli bir oyuncak haline getirilebilir. Düzenbaz falcıların sudan, kahve telvesinden ya da fasulyeden gelecek öngörüleri oluşturmaları gibi, matematik de, din kitaplarından şifreler, Nostradamus manzumelerinden kıyamet günü için tarih hesapları ortaya çıkartmakta kullanılabilir. Bir bıçağı ekmek kesmek için kullanabileceğiniz gibi insana saplamak için de kullanabilirsiniz. Bıçaktan çok, onu kullanın niyeti önemlidir. Altın Oran kavramı bu tür istismarlarda da kullanılabilecek bir konu mudur? Yoksa bilimsel bakış açısıyla ele alındığında anlamlı sonuçlara ulaşmamızda faydası var mıdır, gibi soruları aklımızın bir köşesinde tutmakta fayda var.

Fibonacci dizilimi ve Phi sayısı Altın Oran ile matematiğin ilişkilendirilmesi olarak görülebilir.

Altın oran, 1 sayısına eklendiğinde kendi karesine eşit olan iki sayıdan biridir. Altın oran 1,618033.... olarak devam eden ondalık sayıdır. 1 sayısına eklendiğinde kendi karesine eşit olan diğer sayı da - 0,618033... olarak devam eden ondalık sayıdır.

Altın orana ilişkin matematik bilgisi ilk kez İ.Ö. 3. Yüzyılda Öklid’in Stoikheia ("Öğeler") adlı yapıtında "aşıt ve ortalama oran" adıyla kayda geçirilmiştir. Esasen, eski Mısır’da İ.Ö. 3000 yılına kadar altın oranın izinin sürülebildiği dile getirilmektedir. Grek dünyasına da Pythagoras ve Pythagoras’cular tarafından tanıtıldığı ileri sürülür.

Altın orana, "göze hoş gelen oran" denilebilir. Ancak kime ve kimin gözüne göre? İşte o kısım biraz tartışmaya açık.

En basit şekli ile altın oran şöyle anlatılabilir. Kağıttan iki eş kare kesin. Bu karenin aynısını tam ortadan katlayıp, diğerinin yanına koyun. Şimdi de bir kare daha yapın daha önce yan yana koyduğunuz kare ve dikdörtgenin toplam en uzun kenarları yeni karenizin bir ölçüsü olsun. Bu döngüyü sonsuza ya da canınız sıkılana kadar devam ettirebilirsiniz. Gözünüze güzel görünüp görünmediği konusunda kararı siz verin.    

Büyük sanatçılar bu özelliğe dikkat ederek eserlerini ortaya çıkartmışlardır. Bu bir zorlama düşünce midir? Belki evet. Örneğin Mona Lisa tablosunun boyunun enine oranı altın oranı verir. Mona Lisa'nın yüzünün etrafına bir dikdörtgen çizdiğinizde ortaya çıkan dörtkenar bir altın dikdörtgendir. Bu dikdörtgeni, göz hizasında çizeceğiniz bir çizgiyle ikiye ayırdığınızda yine bir altın oran elde edersiniz. Resmin boyutları da altın oran oluşturmaktadır. Belki de böylece bir standartlaştırma ortaya koyulmuştur. Biri çıkıp, "güzelliğin ölçüsü budur!" demiş ve herkes buna boyun eğmiş olamaz mı?

M.Ö. 500’lü yıllarda yaşamış matematikçi Pisagor (Pythagoras), altın oranla ilgili bakın ne demiş:

"Bir insanın tüm vücudu ile göbeğine kadar olan yüksekliğinin oranı, bir pentagramın uzun ve kısa kenarlarının oranı, bir dikdörtgenin uzun ve kısa kenarlarının oranı, hepsi aynıdır. Bunun sebebi nedir? Çünkü tüm parçanın büyük parçaya oranı, büyük parçanın küçük parçaya oranına eşittir." (Eğer normal bir pentagonun AB kenarlarını içersine çizilecek bir pentagramın AC uzunluğu ile karşılaştırırsak uzunluğunu ϕ = (1 + √5)/2 = 2cos(Π/5) = 1.61803... olarak buluruz yani altın oran sayısı.)

Sanırım onun zamanında insanların hepsi heykel gibiydi. Günümüzde yaşayıp obezite illetine yakalanmış insanları görse belki de fikirlerinde biraz değişiklik olurdu.

Altın oranın gizeminin ne olduğunun cevabı, Fibonacci lakaplı İtalyan matematikçinin (belki de yeniden) bulduğu bir dizi sayıda gizlidir. Fibonacci sayıları olarak da adlandırılan bu sayıların özelliği, dizideki sayılardan her birinin, kendisinden önce gelen iki sayının toplamından oluşmasıdır.

Leonardo Pisano ya da takma adıyla “Fibonacci” Kimdir?

Orta çağın en büyük matematikçilerinden biri olarak kabul edilen Fibonacci İtalya'nın ünlü Pisa şehrinde doğmuştur. 1170 - 1240 yılları arasında yaşamıştır. Çocukluğu babasının çalıştığı Cezayir'de geçmiştir. Hint-Arap sayı sistemini de burada öğrenmiştir. İlk matematik eğitimini Müslüman-Arap bilim adamlarından almış ve İslam uygarlığının kitaplarını incelemiş ve bu konuda çalışmıştır. Yaklaşık olarak, 1200 yıllında bu seyahatinden döndü. 1202 yılına gelindiğinde, öğrendiklerini "abaküs kitabı" veya "hesaplama kitabı" anlamına gelen Liber Abaci (cebir kitabı) isimli eserinde topladı. Yayınladığı bu eserinde Hint-Arap Sayı Sistemi'ni Avrupa'ya duyurdu. Kitabında Arap rakamlarını ve bugün kullandığımız sayı sistemini Avrupa'ya tanıttı. Kitapta, temel matematik kurallarını birçok örnek vererek anlattı. Dönemi için Avrupa’da bilinmemekle birlikte bu kadim bilgilerin matematikte bir sıçrayış için başlatıcı etki yapmıştır. Avrupa unutulan bilgileri, Fibonacci sayesinde yeniden hatırlamıştır…

Fibonacci Sayıları: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,...

Fibonacci dizisinde bir sayıyı kendinden önceki sayıya böldüğünüzde birbirine belirgin şekilde yakın sayılar çıkar. Bu oran asla sabitlenmez ve seride ilerledikçe asimptotik olarak phi’ye yaklaşır – sonsuzda da eşitlenir. Zaten phi’nin kendisi bir “irrational” sayı olduğundan, daha önce eşitlenmesi söz konusu olamaz (Sayın Murat Kayı'ya katkısı için teşekkürler).

ALTIN ORAN = 1,618
233 / 144 = 1,618
377 / 233 = 1,618
610 / 377 = 1,618
987 / 610 = 1,618

Altın Oran (golden ratio, the golden ve divine proportion olarak da bilinen golden section), Fibonacci sayılarına ait bir özelliktir. Sanatta, doğa da hatta yaşayan organizmalar da bile görünen bu ilgi çekici oran çoğu kişi tarafından yüce bir Yaratıcı'nın varlığının ispatı olarak görülür. Yaratıcının varlığının ispat edilmesinin gerekip gerekmediği tartışmasını konu dışı olması nedeniyle bir yana bırakıyorum.

Fibonacci diziliminin genel olarak anlamı: ''Dizideki bir sayıyı kendinden önceki sayıya böldüğünüzde birbirine çok yakın sayılar elde edersiniz.

Bildiğimiz “Π” Pi sayısı gibi Altın oran da 1.61803398874989...’a eşittir. Yunan alfabesinden gelen “ϕ” PHi ile sembolize edilir.

İnsan bedeni
İnsan bedenine bağlı beş belirgin parça vardır. Bunlar iki kol iki bacak ve kafadır. Aynı zamanda kollar ve bacaklara bağlı el ve ayaklarda beşer tane parmak bulunmaktadır. Ayrıca yüzümüzde de dışarıya açılan 5 nokta bulunmaktadır. Bunlar iki göz iki burun deliği ve ağızdır. 5 sayısının da phi ile ilginç bir bağlantısı bulunmaktadır.

Buradaki 5 sayıları aşağıdaki şekilde bizi phi sayısına ulaştırır.
50.5 * .5 + .5 = Ø

İnsan İşaret Parmağı
Elinizin işaret parmağınızın şekline bir bakın. Eğer standartlar dışında bir yapısı yoksa parmağınızda da altın oranı bulabilirsiniz.

Şekilde işaret parmağınızın her bölümü bir öncekinden 1,618...( yani altın oranın değeri ) kadar büyüktür ve üstteki cetvele dikkat ederseniz her bölüm 2, 3, 5, 8 e yani ardışık fibonacci sayılarına karşılık gelmektedir. Şekilde pembe, yeşil, sarı ve mavi çizgiler altın oranı gösterir.


İnsan Yüzü
Mona Lisa resminde gördüğünüz gibi yüz bir altın dikdörtgenin içinde. Resmi incelerseniz başka altın oranlar da görebilirsiniz.

Üst çenedeki ön iki dişin enlerinin toplamının boylarına oranı altın oranı verir. İlk dişin genişliğinin merkezden ikinci dişe oranı da altın orana dayanır. Bunların bir dişçinin dikkate alabileceği ideal oranlar olduğu ileri sürülür. Belki de zaten doğadan ve evrimden kaynaklanan ve gözümüz alıştığı için güzel olarak algıladığımız bir görünümden ibarettir durum.

Mimari
Eski Yunan Uygarlığında da altın dikdörtgen birçok yapıda kullanılmıştır. Bunlardan biri de Atina'daki Partenon'dur. Partenon İ.Ö. 430 ve ya 440 yıllarında tanrıça Athena için yapılmıştır. Tapınağın orijinal planları elimizde olmasa da, tapınağın uzunluğu genişliğinin kök 5 katı olan bir dikdörtgen üzerine inşa edildiği anlaşılmaktadır. Ayrıca tapınakta daha başka altın dikdörtgenler de göze çarpmaktadır (altın dikdörtgen kenarları oranı altın oran olan dikdörtgenlerdir).

Altın oran sadece Yunanlılar tarafından kullanılmamıştır. Mısır'daki Keops piramidinde, Paris'in ünlü Notre Dame Katedralinde altın oranın izlerini görmek mümkündür.

Bitkiler

Ayçiçeğinde yer alan ayçekirdekleri saat yönünde 55 adet buna karşılık saat yönünün tersine 89 adet ayçekirdeği tanesi bulunur. 89/55=1.618 Sanırım artık sürpriz olmuyor.

Papatyalar da büyürlerken her dal Fibonacci serisine uyarak yükselmektedir.

Çam Kozalakları
Çam kozalaklarında saat yönünde 5 sıra varken ters yönde 8 sıra yer alır. 8/5=1.6 sayısını verir ki sanırım bu da phi sayısına oldukça yakın bir değer.

Nautilus Pompilius
Evrimin ilk aşamalarından beri değişmeden aynı büyüme şeklini izleyen kabuklu deniz hayvanlarının büyüme şekilleri ilgi çekicidir. Milyonlarca yıllık fosillerde de günümüzde de karşılaştığımız bu bildik şekil deniz kabuklarının büyümeleri altın oranı karşımıza çıkartır.


İşitme ve Denge Organı
İnsanın iç kulağında yer alan Salyangoz cisimciği ses titreşimlerini beyne aktaran bir sistemin parçasıdır. Bu ilginç organımız da, altın orana uyan salyangoz yapısındadır.


DNA
DNA molekülü tüm yaşamın programını taşımaktadır. Temelinde de altın oran bulunmaktadır. Her tam turunda 34 angstrom uzunluğunda ve 21 angstrom genişliğindeki çift heliks spiral yapısı ile tabi ki altın oranı bünyesinde bulundurmaktadır. 34/21= 1.619 sayısını bulmaktadır. Malum sayımız 1.618 yani phi sayısına ne kadar da yakın öyle değil mi?


Evren
Gezegenlerin birbirlerine olan uzaklıklarından tutun da, Satürn’ün halkalarına hatta evrenin kendi şekline kadar phi sayısı tekrar tekrar kendini gösterir.

Yeni buluşlar göstermiştir ki evrenin şekli bir dodecahedrondur (12 yüzü eşkenar beşgenlerden (pentagon) oluşan bir yapı ki bu da temelinde phi sayısı olan bir yapı olarak kendini gösterir.

Altın oran ile ilgili somut birtakım veriler ve ortaya çıkan gerçek durum söz konusudur. Yazı boyunca anlatılan örneklerde neredeyse baktığımız her yerde görme imkanımız bulunan altın oran için yapılabilecek bir yorum kaosun da bir düzeninin olabileceğidir.

Buna rağmen her güzel görünümlü geometrik şeklin illa altın oranlı olma şartı bulunmaz. Örneğin güncel panel televizyonların 16/9 oranlı şekli ve piksel sayılarının birbirine oranı yakın sayılsa da altın oranı vermez. 1,77 sayısını verir. Şöyle bir baktığımda bana gayet de güzel görünüyor. Yine sosyal medya siteleri resim gösterim oranları için genellikle kare şeklini seçiyor (Instagram, Vine, Facebook). O da göze fena görünmüyor doğrusu. Ancak altın oran da aslında karelerden oluşuyor.

KAYNAKLAR
--------------
http://tr.wikipedia.org/wiki/Leonardo_Fibonacci
http://matlab.s5.com/altin%20oran.htm
http://www.hardwaremania.com/forum/showthread.php?t=13957
http://acunix.wheatonma.edu/jsklensk/Art_Spring09/inclass/golden%20ratio/goldenratio-art.html
http://www.miqel.com/fractals_math_patterns/visual-math-phi-golden.html
http://oregonexpat.wordpress.com/2010/04/13/nature-by-numbers/
http://zinn-x.com/fibonacci_design.php
http://www.smphillips.8m.com/article51.html
http://www.anticorpi.info/2010/11/fibonacci-e-la-sezione-aurea.html
http://www.antoloji.com/nedir/g.asp?terim=2462
http://goldennumber.net
http://jwilson.coe.uga.edu/emt669/Student.Folders/Frietag.Mark/Homepage/Goldenratio/goldenratio.htm
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Fibonacci.html
http://turk.internet.com/haber/yazigoster.php3?yaziid=6972 Altın Oranla İlgili bir hikâye